Математиканың парасатты жоятын кубиктері

Бала өзінің тамаша стратегияны білетінін ойлады.

Екі кубик лақтырғанда, 7 саны басқа кез келген саннан жиірек түседі. Сонда, деп ойлады ол, өріске тоғыз жеті санын қою керек. Содан кейін ұтылды. Қайта-қайта.

Осы оқиғадан Дэвид Хеммер мен Бенджамин Онгтың Dice Bingo туралы математикалық зерттеуі басталады.

Ережелер қарапайым. 3×3 өрісі бар. Ұяшықтарға 2-ден 12-ге дейінгі сандар жазылады. Екі кубик лақтырылады. Түскен қосынды сәйкес ұяшықты жабады. Крестик-нолик ойынындағыдай, үш ұяшықты қатарынан бірінші болып жабу керек.

Стратегия анық көрінеді: ең жиі 7 саны түседі, демек, жеті өрістегі басты сан болуы керек. Бірақ олай емес.

Өрісті 2-ден 12-ге дейінгі сандармен толтырудың саны — 11 санының тоғызыншы дәрежесі, шамамен 2,36 млрд нұсқа. Математиктер олардың барлығын қарап шықты және өрістің симметрияларын ескере отырып, кездейсоқтыққа қарсы ойнауға арналған жалғыз оптимал тақтаны тапты. Бұл тақтаның ортасында 7 саны мүлдем тұрмайды.

Бірақ нағыз математика әрі қарай басталады.

Ғалымдар тақталарды бір-біріне қарсы ойында салыстырды, мұнда екі ойыншы да лақтырулардың бірдей тізбегін көреді. Осы кезде қызық жайт анықталды: A тақтасы B-ден ұтады, B тақтасы C-дан ұтады, ал C тақтасы A-дан ұтады. Нәтижесінде математикалық «тас — қайшы — қағаз» шығады.

Сонымен қатар, бір тақтаның бингоға дейінгі орташа уақыты нашарырақ болуы мүмкін, бірақ белгілі бір қарсыласпен кездескенде жеңу ықтималдығы жоғарырақ болады. Бұл транзитивті емес қасиет деп аталады.

Қалыпты логика бойынша: A B-ден жақсы, B C-дан жақсы болса, демек A да C-дан жақсы болуы керек. Бірақ ықтималдық ойындарында бұл ереже бұзылуы мүмкін.

Зерттеушілер одан әрі жылжып, дуэльде тақта таңдау үшін жалғыз үздік нұсқа мүлдем жоқ жағдайды тапты. Оптимал стратегия — араластыру: кезек-кезек түрлі тақтаны таңдау, сөйтіп қарсылас таңдауды болжай алмайды. Бұл енді ойындар теориясы мен Нэштің аралас тепе-теңдігі.

Ең қызығы кубиктерде емес. «Үздік нұсқа» өз алдына жеке өмір сүрмеуі мүмкін. Ол тек басқа ойыншының белгілі бір нұсқасына қарсы ғана үздік бола алады. Бұл заңдылық бингодан әлдеқайда алыс жерде жұмыс істейді — алгоритмдерде, келіссөздерде, инвестицияларда және шешім екінші тараптың әрекетіне байланысты кез келген жағдайда.

«Қай нұсқа жақсырақ?» деген сұрақ жиі адастырады. Нағыз сұрақ — қандай қарсыласқа қарсы үздік нұсқа деген.