Кости, на которых математика ломает здравый смысл

Ребёнок подумал, что знает идеальную стратегию.

Если бросить два кубика, 7 выпадает чаще любого другого числа. Значит, рассудил он, надо поставить на поле девять семёрок. И начал проигрывать. Снова и снова.

С этой истории начинается математическое исследование Dice Bingo Дэвида Хеммера и Бенджамина Онга.

Правила простые. Есть поле 3×3. В клетки записываются числа от 2 до 12. Бросаем два кубика. Выпавшая сумма закрывает соответствующую клетку. Нужно первым собрать три клетки подряд — как в крестиках-ноликах.

Казалось бы, стратегия очевидна: чаще всего выпадает 7, значит, семёрка должна быть главным числом на поле. Но нет.

Число способов заполнить поле числами от 2 до 12 — 11 в девятой степени, около 2,36 млрд вариантов. Математики перебрали их все и с учётом симметрий поля нашли единственную оптимальную доску для игры против случайности. В центре этой доски вообще не стоит 7.

Но настоящая математика начинается дальше.

Учёные сравнили доски друг с другом в игре один на один, когда оба игрока видят одну и ту же последовательность бросков. И обнаружили странность: доска A выигрывает у B, B выигрывает у C, но C выигрывает у A. Получается математическое «камень — ножницы — бумага».

Причём одна доска может иметь худшее среднее время до бинго, но при встрече с конкретным соперником — более высокую вероятность победы. Это называется нетранзитивностью.

В обычной логике кажется: если A лучше B, а B лучше C, значит, A должна быть лучше C. Но в вероятностных играх это правило может сломаться.

Исследователи пошли дальше и нашли ситуацию, где для выбора доски в дуэли вообще нет единственного лучшего варианта. Оптимальная стратегия — смешивать: иногда выбирать одну доску, иногда другую, чтобы соперник не мог предсказать выбор. Это уже теория игр и смешанное равновесие Нэша.

Самое интересное здесь даже не в кубиках. «Лучший вариант» может не существовать сам по себе. Он может быть лучшим только против конкретного варианта другого игрока. Это работает далеко за пределами бинго — в алгоритмах, переговорах, инвестициях и любых ситуациях, где решение зависит от действий другой стороны.

Формулировка «какой вариант лучший?» часто уводит в сторону. Настоящий вопрос — лучший вариант против какого оппонента.